Arredondamento de Valores Numéricos – RAD1

ARREDONDAMENTO DE VALORES NUMÉRICOS: uma abordagem sobre a NBR 5891:1977:ABNT e a Resolução 886:1966:IBGE

AUTORIA: João Batista de Araújo Filho (CEAD nº  00-08623-1). Professor de Matemática (Registro nº LP9706296/DEMEC/MG)  pelo Centro de Ensino Superior de Juiz de Fora  –CES/JF (Juiz de Fora  –  MG) e Acadêmico de Administração  (Matr. 2020150)  daUniversidade do Grande Rio Professor José de Souza Herdy  – UNIGRANRIO (Duque deCaxias – RJ). Caixa Postal 95.036. Praça Bahia, nº 32. Santa Cruz da Serra. Duque de Caxias, RJ. CEP 25.255-970. Telefone: (21) 7145-7568. E-mail: [email protected].

ARREDONDAMENTO DE VALORES NUMÉRICOS: uma abordagem sobre a NBR
5891:1977:ABNT e a Resolução 886:1966:IBGE

RESUMO: O autor aborda a NBR 5891:1977 da Associação Brasileira de Normas Técnicas
(ABNT) e a Resolução nº 886:1966 do Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística
(Fundação IBGE) que tratam do arredondamento de valores numéricos. Exemplifica situações em que tais normas não são aplicáveis e faz uma comparação  dos enunciados de ambas, questionando o fato da ABNT não adotar a Resolução nº 886:1966:IBGE como norma técnica para as situações passiveis de aproximações ao invés de insurgir uma reescrita da mesma.
PALAVRAS-CHAVE: Arredondamento.  ABNT/ IBGE. Retrabalho.

 

 

ROUNDING OF NUMERICAL VALUES: an approach to NBR 5891:1977:ABNT and
Resolution 886:1966:IBGE

ABSTRACT: The author discusses the NBR 5891:1977 of the  Associação Brasileira de
Normas Técnicas  (ABNT)  and  Resolução  No. 886:1966 of the  Instituto Brasileiro de
Geografia e Estatística  (IBGE)  that deal with the rounding of numeric values. Exemplifies
situations where such rules do not apply and makes a comparison of both statements,
questioning the fact of  ABNT not adopt Resolution No. 886:1966:IBGE as a standard
technique for situations liable to rise up approaches rather than a rewrite of the same.
KEYWORDS: Rounding. ABNT/IBGE. Rework.

1 INTRODUÇÃO

“Prefiro entregar-me à linha reta, com a esperança de que ela prossiga ao
infinito […]. Prefiro calcular demoradamente a minha trajetória […],
esperando poder me lançar como uma flecha e desaparecer no horizonte.
Ou ainda, se muitos obstáculos barrarem o meu caminho, calcular a série
de segmentos retilíneos que me conduzam para fora do labirinto no tempo
mais breve possível.”
– Italo Calvino

“Não é o ângulo reto que me atrai, nem a linha reta, dura, inflexível, criada
pelo homem. O que me atrai é a curva livre e sensual, a curva que encontro
nas montanhas do meu país, no curso sinuoso dos seus rios, nas ondas do
mar, no corpo da mulher preferida. De curvas é feito todo o universo, o
universo de Einstein.”
– Oscar Niemeyer

  A comprovação empírica da necessidade de aproximações de certos valores numéricos
conduz o pesquisador a buscar na teoria,  uma regra que permita o aumento da precisão na
prática,  em diversos campos da atividade humana. A Associação Brasileira de Normas
Técnicas (ABNT), fundada em 1940, membro fundador da  International  Organization for
Standardization   (ISO), normatizou regras de arredondamento de valores numéricos em
dezembro de 1977. No ano de 1966, entretanto,  o Instituto Brasileiro de Geografia e
Estatística (IBGE), fundado em 1934, já houvera normatizado este procedimento.
O atual processo de globalização impõe a busca incessante de se normatizar procedimentos ainda não padronizados, e de se unificar outros procedimentos que tratem de um mesmo assunto.  E essas ações,  aceleradamente  intensificadas  pela necessidade de  se  acompanhar a cultura globalizada, podem inferir erros, vieses ou omissões de  objetos de pesquisas considerados “menos importantes”, mas que podem fazer alguma diferença no futuro.
O objetivo deste artigo é chamar à atenção para que pesquisadores  e avaliadores
sejam mais cautelosos na aprovação de normatizações, evitando-se o retrabalho.  Posto que a vivência comprova que falhas acontecem em decorrência da desconsideração de algum (ns) detalhe (s).

2 A VIABILIDADE DO ARREDONDAMENTO DE VALORES NUMÉRICOS

A epistemologia chama a atenção para algumas ciências cujo arredondamento de
valores deve ser feito sempre ao inteiro maior, como é o caso do cálculo do ponto de
equilíbrio da quantidade de unidades da produção de um bem. Se um determinado fabricante produz geladeiras, para o resultado  igual a 543,02018170 de um cálculo teórico de seu ponto de equilíbrio de produção, o mesmo não atingirá  tal ponto de equilíbrio com a produção de 543 geladeiras. Esse ponto só será atingido com a produção de 544 geladeiras.
A densidade demográfica de uma região é outro exemplo questionável quanto ao
arredondamento da razão obtida. O Brasil possui uma área de 8.514.876,599 km2 e uma população de 192.376.496 habitantes1. Assim sua densidade demográfica é de  22,592986963850185094150417293675… hab/km2. Ou seja, se distribuirmos 22 habitantes em cada km2, mais de cinco milhões “ficarão fora” do território nacional; se distribuirmos 23 habitantes em cada km2, “haverá sobra” de mais de 150 mil quilômetros quadrados. Havendo uma exigência de se apresentar esse resultado truncando-se os inteiros, a razão seria a de 22 hab/km2. Por isso, apesar de não ser considerável a existência de um habitante que não seja inteiro, deve-se considerar  ou não  as frações decimais da razão hab/km2,  com arredondamento ou não, convenientemente ao que se deseja apresentar.

2.1 VALORES MONETÁRIOS

O arredondamento de valores monetários depende da legislação específica para cada
finalidade. Exemplo:

Resolução nº 003/2009. SÚMULA: FIXA O SUBSÍDIO DO PRESIDENTE
DO PODER LEGISLATIVO DE UBIRATÃ A PARTIR DE  1º DE
JANEIRO DE 2009  E DA OUTRAS PROVIDÊNCIAS. […] Art. 3º Os
subsídios de que trata esta Lei serão reajustados pelo índice do INPC
vigentes na época. Parágrafo Único  –  Os reajustes previstos neste artigo,
terão  arredondamento das frações de centavos  (PARANÁ, p. 4, grifo
nosso).2

____________________

1 Disponível em . Acesso em 14 dez 2011.
2 Disponível em . Acesso em 16 dez 2011.

No citado exemplo, o legislador não se preocupou em especificar os critérios para
arredondamento. Ressalta-se  que centavos  –  palavra composta pela aglutinação  de “cento” mais “avos”  (“cem avos”)  –  são  frações  centesimais  de uma unidade monetária; e que frações de centavo  são  valores menores que um centavo. Esses valores monetários,menores que um centavo, estão sempre presentes na prática, como é o caso da divisão não exata do valor total de uma compra pelo número de prestações a serem pagas, e de tarifações como a do consumo de energia elétrica (tabela T-1).

TABELA T-1 – TARIFAÇÃO DE ENERGIA ELÉTRICA

 

Consumo (kWh)	Tarifa (Valor do kWh em R$)	Valor a ser pago (R$)
315	0,58344	183,78
40	0,40643	16,25

 

FONTE: elaboração própria.

Os dados da tabela T-1 acima são reais, extraídos de duas faturas diferentes, de uma mesma prestadora de serviço. Pela memória dos cálculos efetuados, pode-se concluir que a prestadora opta simplesmente por desprezar as frações de centavo (R$ 0,0036 e R$ 0,0072, respectivamente para cada tarifa). Daí, neste caso, as regras NBR  5891:1977:ABNT e Resolução 886:1966:IBGE não são aplicáveis.
Outro exemplo:

[…] TRIBUNAL DE CONTAS DA UNIÃO  –  LICITAÇÕES E
CONTRATOS […] só são aceitos preços em moeda nacional, ou seja, em
Real (R$), em algarismos arábicos e por extenso. Em caso de divergência,
prevalece o valor por extenso,  devendo ser desprezado qualquer valor
além dos centavos (TCU, p. 154, grifo nosso).

  A deliberação acima transcrita impõe que valores menores que R$ 0,01 devam ser ignorados, diferentemente das tabelas de taxa de câmbio entre moedas, amplamente divulgadas pela imprensa, que são taxas médias praticadas no mercado interbancário, isto é, a taxa média do dia apurada com base nas operações realizadas naquele mercado, conhecida por “taxa PTAX”, a qual serve como referência, não obrigatória, apresentadas nas tabelas T-2 e T-3 a seguir.

TABELA T-2 – Taxa de câmbio do dólar americano em 26 dez 2011.

Dólar	Compra (R$)	Venda (R$)
Dólar comercial (taxa PTAX)	1,8554	1,8560
Paralelo (São Paulo)	1,79	2,00
Diferença entre paralelo e comercial	-5,52%	7,76%
Dólar-turismo esp. (Banco do Brasil)	1,76	,90
Dólar-turismo esp. (Bradesco)	1,74	1,94

 

FONTE: O GLOBO.

________________________

3Disponível em . Acesso em 16 dez 2011. 5

TABELA T-3 – Cotação de moedas estrangeiras em 31 dez 2011

Cotação para venda ao público	(em R$)
Euro (grifo do autor)	2,41082 (grifo do autor)
Franco suíço	1,98375
Iene japonês	0,0242026
Libra esterlina	2,89386
Peso argentino	0,432938
Yuan chinês	0,295903
Peso chileno	0,00358725 (grifo nosso)
Peso mexicano	0,133552
Dólar canadense	1,82533

FONTE: O GLOBO.

O grifo nosso na tabela T-3 exemplifica uma das necessidades de se considerar casas
decimais além do fracionamento centesimal de uma unidade monetária que caracteriza o seu centavo. Ao se efetuar um pagamento em espécie, é necessário que haja um acordo quanto às frações de centavos a serem consideradas.
A Secretaria do Tesouro Nacional (STN) disponibiliza em seu site sua metodologia de cálculo da rentabilidade de Notas do Tesouro Nacional (NTN), onde,  ao apresentar uma memória de cálculo de cotação como exemplo, acorda que o resultado seja “truncado  na quarta casa decimal”  (grifo nosso) e, num segundo momento, delibera que o resultado final
(moeda) seja “truncado  na segunda casa decimal”(grifo nosso)4. Ou seja, “cortado”, “separado” (MICHAELIS, 1998) do restante,  sem qualquer alteração, conservando-se os valores absolutos dos algarismos conforme obtidos pela efetuação do cálculo.
Uma  normatização  visa economia de tempo e  de  trabalho dispendioso. Todavia não desconsidera as exceções. Assim, uma loja pode oferecer seu produto para a venda a R$ 100,00 (cem reais) dividido em três prestações: uma de R$ 33,34 (trinta e três reais e trinta e quatro centavos) e duas de R$ 33,33 (trinta e três reais e trinta e três centavos). Caso utilizasse os critérios sugeridos pela NBR 5891:1977:ABNT ou pela Resolução  886:1966:IBGE perderia R$ 1,00 (um real) no valor de suas vendas a cada cem produtos. Com efeito, 3 x 0,00333… = 0,00999… = 0,01. Pelo princípio das igualdades matemáticas pode-se provar que 0,00999… = 0,01, como mostrado a seguir.

seja x = 0,00999 … (I)

Multiplicando a igualdade por 1000 ela permanecerá verdadeira. Ou seja:

1000x = 9,99999 … (II)

Subtraindo a primeira igualdade (I) da segunda (II) retira-se o mes –

 

____________________

4Disponível em . Acesso em 28 dez 2011. 6

 

mo vamor em ambos os membros de (II) não alterando a igualdade:

999x = 9,99.

3 A NBR 5891:1977:ABNT  E  A  RESOLUÇÃO Nº   886:1966:IBGE

“Amo a emoção que corrige a regra.”
Juan Gris

Os critérios para arredondamento de valores numéricos estabelecidos pela Fundação IBGE através da Resolução 886:1966 antecipam-se na data de sua publicação à norma NBR 5891:1977:ABNT. Isso faz surgir então uma questão: por que a ABNT não adotou esta resolução? Não há material disponível que explique ou justifique tal fato.
A crítica que se segue é principalmente quanto à elaboração dos enunciados da NBR 5891:1977:ABNT. Os textos sugerem uma tentativa de reescrita dos enunciados da Resolução 886:1966:IBGE. Na Resolução 886:1966:IBGE, os critérios são enunciados tomando-se como ponto de partida o  primeiro algarismo a ser abandonado. Enquanto que na NBR 5891:1977:ABNT, o ponto de partida é o  algarismo que ocupará a posição a ser considerada para o arredondamento.
Arredondar um valor numérico não significa necessariamente acréscimo de outro valor ao mesmo.  A subtração da extensão decimal de um valor,  também caracteriza um arredondamento. Neste caso, para o inteiro menor. Assim a expressão “dever-se-á arredondar o algarismo a ser conservado para o algarismo par mais próximo” em 2.3 da  NBR 5891:1977:ABNT, além de desconsiderar a existência de um outro par tão próximo de cinco quanto seis, o quatro, se contradiz por outra expressão nela inclusa: “arredondar o algarismo a ser conservado”  –  havendo um  “algarismo a ser conservado”  (grifo nosso), não deve ser alterado esse algarismo; pois, se sofrer arredondamento com alteração, não será conservado, i.e., não será mantido o seu valor absoluto obtido originalmente.
A seguir, os textos da NBR 5891:ABNT e da Resolução 886:IBGE (texto não original) e um quadro comparativo (Q-1) destas, para melhor análise dos respectivos enunciados:

Norma NBR 5891:1977:ABNT 5:

Regras de arredondamento na Numeração Decimal  –  Norma ABNT NBR 5891. Dezembro de 1977.
1. OBJETIVO
Esta norma tem por  fim estabelecer as regras de arredondamento na
Numeração Decimal.
2. REGRAS DE ARREDONDAMENTO

________________________

5Disponível em  /index.php?option=com_content&view=article&id=69:regras-de-
arredondamento-na-numeracao-decimal-norma-abnt-nbr-5891&catid=39:gerais. Acesso em 30 ago 2011.  7

2.1 Quando o algarismo imediatamente seguinte ao último algarismo a ser conservado for inferior a 5,  último algarismo a ser conservado permanecerá sem modificação.
Exemplo: 1,3333 arredondado à primeira decimal tornar-se-á 1,3.
2.2 Quando o algarismo imediatamente seguinte ao último algarismo a ser conservado for superior a, ou, sendo 5, for seguido de no mínimo um algarismo diferente de zero, o último algarismo a ser conservado deverá ser aumentado de uma unidade.
Exemplo: 1,6666 arredondado à primeira decimal tornar-se-á: 1,7 e 4,8505
arredondados à primeira decimal tornar-se-ão: 4,9.
2.3 Quando o algarismo imediatamente seguinte ao último algarismo a ser conservado for 5 seguido de zeros, dever-se-á arredondar o algarismo a ser conservado para o algarismo par mais próximo. Conseqüentemente, o último a ser retirado, se for ímpar, aumentará uma unidade.
Exemplo: 4,5500 arredondados à primeira decimal tornar-se-ão: 4,6.
2.4 Quando o algarismo imediatamente seguinte ao último a ser conservado
for 5 seguido de zeros, se for par o algarismo a ser conservado, ele
permanecerá sem modificação.
Exemplo: 4,8500 arredondados à primeira decimal tornar-se-ão: 4,8.

Fundação IBGE6:

Resolução 886/1966 (Fundação IBGE), texto não original.
a)  quando o primeiro algarismo a ser  abandonado for maior que 5,
acrescenta-se uma unidade ao algarismo imediatamente anterior;
b)  quando o primeiro algarismo a ser abandonado for menor que 5, os
anteriores permanecem inalterados;
c)  quando o primeiro algarismo a ser abandonado for 5:
–  se houver algarismo significativo posterior, acrescenta-se uma
unidade ao algarismo imediatamente anterior;
–  se não houver algarismo significativo posterior, analisa-se o
algarismo anterior ao 5:
–  se for ímpar, acrescenta-se uma unidade ao algarismo
imediatamente anterior;
–  se for par, os anteriores permanecem inalterados.

No acervo eletrônico do IBGE não foi encontrado o texto original dessa  resolução tão
citada  em diversos trabalhos acadêmicos, inclusive em muitas monografias. E em contato via endereço eletrônico com a Fundação IBGE, objetivando encontrar o texto original, o autor fora orientado a buscar o assunto na terceira edição das NORMAS DE APRESENTAÇÃO TABULAR, uma publicação de 1993 daquela Fundação, onde o assunto aparece com modificações:

7 Arredondamento de dado numérico. […].  7.2  No arredondamento do dado
numérico, quando o primeiro algarismo a ser abandonado for 0, 1, 2, 3 ou 4,
deve ficar inalterado o último algarismo a permanecer. […].  7.3 No
arredondamento do dado numérico, quando  o primeiro algarismo a ser
abandonado for 5,  6,  7,  8 ou 9, deve-se aumentar de uma unidade o último
algarismo a permanecer. […] (IBGE, 1993, p.25).

___________________________

6Disponível em . Acesso em 30/08/11. 8

Q-1 – Comparação de critérios entre a NBR 5891:1977:ABNT e a Resolução 886:1966: IBGE

ABNT – NBR 5891:1977		IBGE – Resolução 886:1966 (texto não original)
Critérios	Exemplos	Critérios	Exemplos
“2.1  Quando o algarismo imediatamente seguinte ao último algarismo a ser conservado for inferior a 5,  último algarismo a ser conservado permanecerá sem modificação”.	Assim para que 3,14… fique apenas com uma casa decimal teremos 3,1.	“b) quando  o  primeiro algarismo a ser abandonado for menor que 5, os anteriores permanecem inalterados”.	“b) quando  o  primeiro algarismo a ser abandonado for menor que 5, os anteriores permanecem inalterados”.
“2.2  Quando o algarismo imediatamente seguinte ao último algarismo a ser conservado for superior a, ou, sendo 5, for seguido de no mínimo um algarismo diferente de zero, o último algarismo a ser conservado deverá ser aumentado de uma unidade”.	Assim para que 3,14159…  fique apenas com quatro casas decimais teremos 3,1416.   …………………….   E para que 3,14159…  fique apenas com três casas decimais teremos 3,142.	“a) quando o  primeiro algarismo a ser abandonado for maior que 5, acrescenta-se uma unidade ao algarismo imediatamente interior;” …………………………………..   “c) quando o  primeiro algarismo a ser abandonado for 5: –  se houver algarismo significativo posterior, acrescenta-se uma unidade ao algarismo imediatamente anterior;”	Assim para que 3,14159…  fique apenas com quatro casas decimais teremos 3,1416.   …………………….   E para que 3,14159…  fique apenas com três casas decimais teremos 3,142.
“2.3  Quando o algarismo imediatamente seguinte ao último algarismo a ser conservado for 5 seguido de zeros, dever-se-á arredondar o algarismo a ser conservado para o algarismo par mais próximo. Conseqüentemente, o último a ser retirado, se for ímpar, aumentará uma unidade.”	x	“c) quando o primeiro algarismo a ser abandonado for 5: […] –  se não houver algarismo significativo posterior, analisa-se o algarismo  an- terior ao 5: – se for ímpar, acrescenta-se uma unidade ao algarismo imediatamente anterior;   […]”	Assim para que 4,55 fique apenas com uma casa decimal teremos 4,6.
“2.4  Quando o algarismo imediatamente seguinte ao último a ser conservado for 5 seguido de zeros, se for par o algarismo a ser conservado, ele permanecerá sem modificação.	Assim, para que 4,85  fique com apenas uma casa decimal teremos 4,8.	“c) quando o  primeiro algarismo a ser abandonado for 5:  […] – se não houver algarismo significativo posterior, analisa-se o algarismo anterior ao 5: […] – se for par, os anteriores permanecem inalterados.”	Assim, para que 4,85  fique com apenas uma casa decimal teremos 4,8.

 

Fonte: elaboração própria.

9

O valor  π = 3,1415926535897932384626433832795… é utilizado no quadro
comparativo Q-1 para exemplo dos itens 2.1 e 2.2 da NBR 5891:1977:ABNT e nos itens  a) ,
b) e primeiro hífen de c) da Resolução  886:1966:IBGE  (texto não original), por ser
conhecidamente um número real com extensão decimal infinita e não-periódica, visando
precisar o máximo de entendimento possível dos enunciados. Em referência ao iten 2.3 da
NBR 5891:1977:ABNT, o quadro omite exemplos em decorrência da crítica já feita quanto a
redação de seu enunciado. Utiliza, porém, o valor numérico de extensão decimal finita
sugerido no texto da NBR 5891:1977:ABNT, para exemplificar o preconizado nos segundo e
terceiro hifens da letra c) da Resolução 886:1966:IBGE (texto não original). Também, para o item 2.4 da  NBR 5891:1977:ABNT e para o quarto hífen da letra c) da Resolução
886:1966:IBGE (texto não original), a escolha pelo exemplo da NBR 5891:1977:ABNT deve-se ao cuidado de se evitar vieses de interpretações forçadas que desconsiderem integralmente o texto da norma da ABNT.

4 CONSIDERAÇÕES FINAIS

As exceções ratificam as regras.
O autor

O  conhecimento diversificado da ciência Administração não tem a presunção de
desconsiderar a especialização científica. Porquanto incentiva o  feed-back constante a fim dese evitar o retrabalho e a aceitação induzida pela “consagração popular”, que na maioria dasvezes está calçada no imediatismo cômodo. Ou como escreve Eike Batista:

A visão 360 graus é minha bússola, […]. Acredito que o empreendedor deve
perseguir uma visão multidisciplinar, que proporcione clareza em relação a
todos os procedimentos. Visão 360 graus é observar o entorno jurídico,
político, financeiro, ambiental, social, humano, logístico, mercadológico e
operacional (BATISTA, 2011, p. 63).

  Na administração de uma organização  de porte significativamente complexo, com
vários subsistemas presentes, a comunicação formal  se dá através de memorandos contendo ordens, resoluções e outras ações diretivas. E uma vez que tal procedimento se torna rotineiro, sua referência gráfica se consagra, não mais sendo esquecida. Entretanto muitos arquivos, que em épocas passadas ainda não eram eletrônicos, e cuja transcrição eletrônica não fora julgada relevante, podem ter sido extraviados por diversos motivos.
No texto de apresentação das  Normas de Apresentação Tabular:1993:IBGE
(IBGE,1993), a então presidência  da Fundação sugere a consulta das mesmas inclusive por
“entidades normativas, como a Associação Brasileira de Normas Técnicas-ABNT, que
poderão adotá-la em suas recomendações” (op. cit.): uma mensagem subliminar de sugestão de estudo científico para se encontrar um denominador comum.
Sempre é bom lembrar que resoluções, normas e leis possuem de  per se  caráter
conceitual diferente. Noutras palavras, a NBR 5891:1977:ABNT e a Resolução
886:1966:IBGE  e as  Normas de Apresentação Tabular:1993:IBGE,  não são  imposições
legais. Porém,  uma fonte de referência  comprometida cientificamente,  não obsta  uma
orientação aos seus usuários. Por ser de mais simples interpretação e favorecer procedimentos 10 mais  racionais  e  sistemáticos, a Resolução  nº  886:1966:IBGE deve preterir a NBR 5891:1977: ABNT, e até mesmo, o normatizado pelas  Normas de Apresentação Tabular:1993:IBGE,  quando de uma  padronização de critérios para o arredondamento de valores numéricos, sempre que, convenientemente, a pesquisa permitir ou exigir.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

ALVES, Cristina. Economia/Indicadores. O Globo. Rio de Janeiro, 26 dez 2011.

. Economia/Indicadores. O Globo. Rio de Janeiro, 31 dez 2011.

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 5891: regras de
arredondamento na numeração decimal. Rio de Janeiro, 1977.

BATISTA, Eike. O X da questão. Rio de Janeiro: Sextante, 2011.

CRESPO, Antônio Arnot. Estatística Fácil. 19ª edição atualizada. São Paulo: Saraiva, 2009.

INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA. Resolução 886. Rio de
Janeiro: Fundação IBGE, 1966.

__________. Normas de Apresentação Tabular. 3ª edição. Rio de Janeiro,1993.

MICHAELIS, M. L. Moderno dicionário da língua portuguesa. São Paulo: Cia.
Melhoramentos, 1998.

PARANÁ (Estado). Câmara Municipal de Ubiratã. Jornal Oficial do Município de Ubiratã.
Resolução nº 003/2009. Ubiratã: Imprensa Oficial do Município de Ubiratã, Ano IV, nº 201,
2009.

SECRETARIA DO TESOURO NACIONAL. Metodologia de Cálculo dos Títulos PúblicosOfertados no Tesouro Direto: Notas do Tesouro Nacional, série B (paper). Brasília: Companhia Brasileira de Liquidação e Custódia, 2006.

TRIBUNAL DE CONTAS DA UNIÃO – Licitação e Contratos. Deliberação do TCU:
aceitabilidade das propostas. 3ª edição. Brasília, [200-? ou 201-?].